중학생이 풀어보는 수능 수학 - 2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 5번, 미분의 성질, 다항식의 미분 그리고 문제 풀이

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2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 5번 (2025. 11. 14.)

이전 포스팅에서 이어지는 내용이므로 반드시 읽고 오시는 걸 추천합니다

2025.01.30 - [수학 이야기] - 중학생이 풀어보는 수능 수학 - 2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 5번, 미분계수가 존재한다, 미분가능하다는 의미

중학생이 풀어보는 수능 수학 - 2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 5번, 미분계수가 존재한다

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다항식의 미분

그럼 이제, 미분계수가 존재한다 = 미분가능하다는 뜻을 알았으니, 우리들이 자주보는 함수들의 미분가능성에 대해서 알아보기 위해, 자연수 $n$(0 포함), 실수 $a$에 대하여, $ax^n$의 미분계수를 구하는 것에서 시작하고자 한다. 

 

먼저, $f(x) = x$일 때, $f'(x)$는

 

$$ \begin{align} f'(x) & = \lim_{h \to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\ \\ & = \lim_{h \to 0}{\frac{(\cancel{x}+h) - \cancel{x}}{h}} \\ \\ & = \lim_{h \to 0}{1} \\ \\ & = 1 \end{align} $$

 

위의 풀이는 실수 $x$와 상관없이 성립하므로, 모든 $x$에 대하여 $f(x) = x$일 때, $f'(x) = 1$임을 알 수 있다. 미분계수가 존재한다는 것은 극한값이 존재한다는 이야기이므로, 극한이 존재한다는 가정하에 성립되는 갖가지 성질을 모두 만족하게 된다. 따라서 실수 $a$에 대해 추가로 $g(x) = ax$라고 한다면, 

 

$$\begin{align} g'(x) &= \lim_{h \to 0}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}} \\ \\ &= \lim_{h \to 0}{\frac{a(x+h) - ax}{h}} \\ \\ &= a \lim_{h \to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \; \cdots\cdots \; \lim\{af(x)\} = a \lim{f(x)} \\ \\ &= a f'(x) = a \end{align} $$

 

그럼 $f(x) = x^n$에 대해서는 어떻게 될까? 

 

$$ \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} \\ \\ &= \lim_{h \to 0}{\frac{(x+h)^n - x^n}{h}} \cdots (1) \end{align} $$

 

이 때, 이항정리에 따라 

 

$$ (x+h)^n = x^n + {}_{n}\mathrm{C}_{1} hx^{n-1} + {}_{n}\mathrm{C}_{2} h^2 x^{n-2} + \cdots {}_{n}\mathrm{C}_{n-1} h^{n-1} x + h^n $$

 

이므로 

 

$$ (x+h)^n - x^n = {}_{n}\mathrm{C}_{1} hx^{n-1} + {}_{n}\mathrm{C}_{2} h^2 x^{n-2} + \cdots + {}_{n}\mathrm{C}_{n-1} h^{n-1} x + h^n $$

 

이를 (1)식에 대입해보면

 

$$ \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}{\frac{(x+h)^n - x^n}{h}} \\ \\ &= \lim_{h \to 0}{\frac{ {}_{n}\mathrm{C}_{1} hx^{n-1} + {}_{n}\mathrm{C}_{2} h^2 x^{n-2} + \cdots + {}_{n}\mathrm{C}_{n-1} h^{n-1} x + h^n }{h}} \\ \\ &= \lim_{h \to 0}\{ {}_{n}\mathrm{C}_{1} x^{n-1} + {}_{n}\mathrm{C}_{2} h x^{n-2} + \cdots + {}_{n}\mathrm{C}_{n-1} h^{n-2} x + h^{n-1} \} \cdots (2) \end{align} $$

 

${}_{n}\mathrm{C}_{r}$ 형태의 수들은 어찌됐든 모두 자연수이며, 위의 극한은 $h$에 관한 극한값을 구하는 것이므로 $x$와는 전혀 관계가 없다. 따라서 사실상 $h^n$형태의 단항식들의 합 꼴인 셈인데, 우리는

$$\lim_{h \to 0}{h^n} = \lim_{h \to 0}{f(h)} = f(0) = 0$$

임을 알고 있다. (해당 포스팅 참고)

 

따라서 (2)의 각 항들은 모두 $h = 0$에서 극한값을 가지므로 다음과 같이 표현이 가능하다

 

$$ \begin{align} & \lim_{h \to 0}\{ {}_{n}\mathrm{C}_{1} x^{n-1} + {}_{n}\mathrm{C}_{2} h x^{n-2} + \cdots + {}_{n}\mathrm{C}_{n-1} h^{n-2} x + h^{n-1} \} \\ \\ = & \lim_{h \to 0}{ {}_{n}\mathrm{C}_{1} x^{n-1} } + \lim_{h \to 0}{ {}_{n}\mathrm{C}_{2} h x^{n-2} } + \cdots + \lim_{h \to 0}{ {}_{n}\mathrm{C}_{n-1} h^{n-2} x } + \lim_{h \to 0}{ h^{n-1} } \\ \\ = & {}_{n}\mathrm{C}_{1} x^{n-1} + 0 + \cdots + 0 + 0 \\ \\ = & n x^{n-1} \end{align} $$

 

각 항 들 중 $h$를 포함하고 있는 항들은 모두 극한값이 0에 수렴하게 되므로, 결국 $n x^{n-1} $만 남게 된다. 따라서 모든 실수 $x$에 대해,

 

$$ f(x) = x^n \; \Rightarrow \; f'(x) = nx^{n-1} $$

 

이 된다. 그렇다면, 상수 $a$를 곱한 $g(x) = ax^n$에 대해서는, 극한의 성질을 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다. 

 

$$ \begin{align} g'(x) &= \lim_{h \to 0}{\frac{a(x+h)^n - ax^n}{h}} \\ \\ &= a \lim_{h \to 0}{\frac{(x+h)^n - x^n}{h}} \\ \\ &= a f'(x) = an x^{n-1} \end{align} $$

 

즉, 어떤 단항식이든 $x^n$에 상수배를 한 단항($ax^n$ 꼴)들은 미분이 가능하다는 이야기(그것도 $an \cdot x^{n-1}$형태로 존재)

 

더해진 함수를 미분하면, 각각 미분한 것과 같다

하지만 우리가 풀고자 하는 함수는 $(x^2+1)(3x^2 -x)$으로 위에서 살펴 본 단항식의 합으로 이루어져 있다. 위와 같은 단항식 $f(x), \, g(x)$가 있다고 가정할 때, $f(x)+g(x)$를 미분해보면 어떻게 될까? 역시 극한의 정의에 따라 극한값을 구해보기로 하자 

 

$$ \begin{align} (f(x)+g(x))' &= \lim_{h \to 0}{\frac{\{ f(x+h)+g(x+h) \} - \{ f(x)+g(x) \} }{h}} \\ \\ &= \lim_{h \to 0}{\frac{\{ f(x+h) - f(x) \} + \{ g(x+h) - g(x) \} }{h}} \\ \\ & = \lim_{h \to 0}{ \Bigl\{ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{g(x+h)-g(x)}{h}} \Bigl\} \cdots (3) \end{align} $$ 

 

위의 단항식들은 모두 미분계수를 가지므로 $f'(x), \, g'(x)$가 

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}, \quad g'(x) = \lim_{h \to 0}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}$$

 

로 극한값이 존재하게 된다. 따라서 (3)식은 극한의 성질에 따라

 

$$ \begin{align} & \lim_{h \to 0}{ \Bigl\{ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \Bigl\} } \\ \\ = & \lim_{h \to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} + \lim_{h \to 0}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}} \\ \\ =& f'(x) + g'(x) \end{align} $$

 

정리하자면 

 

$$ (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) $$

 

이다. 즉, 전체를 미분하더라도 단항식들을 각각 미분하면 된다. 

 

그렇다면 원초적으로 문제를 풀어보자

문제의 $f(x)$는 다음과 같다.

 

$$\begin{align} f(x) &= (x^2+1)(3x^2 -x) \\ \\ &= 3x^4 - x^3 + 3x^2 - x \end{align} $$

 

따라서 $f'(x)$는

 

$$ \begin{align} f'(x) & = (3x^4 - x^3 + 3x^2 - x)' \\ \\ &= (3x^4)' - (x^3)' + (3x^2)' - (x)' \\ \\ &= (3 \cdot 4x^3) - (3x^2) + (3 \cdot 2x) - 1 \\ \\ &= 12x^3 - 3x^2 + 6x - 1 \end{align} $$

 

따라서 $f'(1) = 12 - 3 + 6 - 1 = 14$이다. 

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