중학생이 풀어보는 수능 수학 - 2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 5번, 미분계수가 존재한다, 미분가능하다는 의미

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2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 5번 (2025. 11. 14.)

이전 포스팅에서 이어지는 내용이므로 반드시 읽고 오시는 걸 추천합니다

https://wkqtkdtlr.tistory.com/423

중학생이 풀어보는 수능 수학 - 2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 4번, 명제와 논리의 관계

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미분은 극한이다

다시 미분의 정의를 살펴보면

 

$$ \begin{align} f'(a) & = \lim_{x \to a}{\frac{f(x) - f(a)}{x-a}} \; \cdots \; (1) \\ \\ & = \lim_{ h \to 0 }{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}} \; \cdots \; (2) \end{align} $$

 

즉, $f'(a)$는 함수를 특별한 모습으로 만든 뒤 특정 값에 대한 극한을 구하는 것이다. 그리고 우리는 이 $f'(a)$를 함수 $f(x)$에서 $x=a$에 대한 "미분계수"라고 표현한다. 즉, 미분계수란 위의 정의대로 구한 "극한값"이다. 

 

이 말은 곧, 미분계수라는 이름일 뿐 본질은 극한이므로, 극한의 성질을 그대로 따른다는 것을 의미한다. 따라서, 모든 함수에 대해서 함수의 극한값이 존재하지 않기 때문에, 미분계수 역시 함수로 정의된다고 해서 항상 존재하지 않는다. 해당 포스팅에서 살펴보았듯이, 극한값이 존재하기 위해서는 다음을 만족해야 한다.

 

"극한값이 존재한다 ⇔ 좌극한, 우극한이 서로 일치한다."

 

이는 모든 극한이 반드시 갖추어야 할 기본 성질이다. 따라서, 극한으로 정의되는 미분계수 또한 위 전제에 따라 좌극한, 우극한이 서로 일치해야 한다. 그렇다면 위의 (1)식은 다음과 같이 표현할 수 있다. 

 

$ \displaystyle \lim_{x \to a}{\frac{f(x) - f(a)}{x-a}} $이 존재  $\displaystyle \Leftrightarrow \; \lim_{x \to a-}{\frac{f(x) - f(a)}{x-a}} = \lim_{x \to a+}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}} $

 

아래와 같은 $f(x)$가 있다고 가정해보자.

$x<0$에서는 $f(x) = -x$ 이고, $x>0$에서는 $f(x) = x$인 함수이다. 이전 포스팅을 통해 변화율은 직선의 기울기를 이야기함을 알고 있으므로 쉽게 미분계수를 구할 수 있기도 하지만, 그래도 정의를 통해 $x = 0$에서의 미분계수(극한값)을 좌극한과 우극한으로 나누어 계산해보자. 

 

먼저 좌극한, 좌극한은 $x<0$인 구간에서 $x$가 0으로 가까워지는 것이므로, $f(x) = -x $로 정의되는 구간에서의 극한을 의미한다. 따라서

 

$$ \begin{align} \lim_{x \to 0-}{\frac{f(x) - f(0)}{x-0}} & = \lim_{x \to 0-}{\frac{-x}{x}} \\ \\ & = \lim_{x \to 0-}\{-1\} \\ \\ & = -1 \end{align} $$

 

우극한 역시 $x>0$인 구간에서 $x$가 0으로 가까워지므로, $f(x) = x$로 정의된다. 똑같은 방식으로 극한을 구하면

 

$$ \lim_{x \to 0+}{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} = \lim_{x \to 0+}{\frac{x}{x}} = 1 $$

 

즉, 위의 함수는 좌극한으로 미분계수를 구하면 -1, 우극한으로 미분계수를 구하면 1이 되어 -1 ≠ 1이기 때문에, 극한값이 존재하지 않으므로, $x=0$에서 미분계수가 존재하지 않는다.

 

우리는 이와 같이 좌극한으로 구한 미분계수는 좌미분계수, 우극한으로 구한 미분계수를 우미분계수라고 부른다. 따라서 미분계수가 존재한다 말은 아래와 같다.

 

미분계수가 존재한다 ⇔ 극한값이 존재한다 ⇔ 좌미분계수(좌극한), 우미분계수(우극한)이 같다

 

극한이 존재함에는 좌극한, 우극한이 서로 같다는 전제 외에는 어떠한 전제도 없듯이, 극한값 중 특수한 형태인 미분계수 역시 좌미분계수, 우미분계수가 같다는 전제 외에 어떠한 조건도 필요없다. 미분계수는 극한을 정의할 수만 있다면, 무조건 존재한다. 그리고 이 말은 곧 $x=a$에서 미분계수가 존재하기 때문에 $f(x)$는 $a$에서 미분가능하다는 것을 의미한다.

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