중학생이 풀어보는 수능 수학 - 2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 4번, 끊어진 구간의 함수의 연속은 그리 간단하지 않을 수 있다.

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2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 4번 (2025. 11. 14.)

이전 포스팅에서 이어지는 내용입니다.

https://wkqtkdtlr.tistory.com/423

중학생이 풀어보는 수능 수학 - 2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 4번, 명제와 논리의 관계

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서론(지난 포스팅에 이어)

이전 포스팅에서는 명제와 논리에 관한 이야기를 나누었다. 함수의 연속을 다루면서 왜 이것을 이야기하는가 싶을 것이다. 그것은, 이와 같은 문제가 아니더라도 모든 문제를 해석하는데 있어서 논리는 중요한 것이고, 수학은 생각보다 수를 다루는 능력보다 논리력을 더 중요하게 여기는 학문이기 때문이다. 

 

결론부터 이야기하자면, 위 문제를 명제로 보자면 거짓이다. $f(x)$가 모든 $x$에서 연속이라는 조건 하에 저렇게 각각 나눈 함수들이 각각 연속이라고 이야기할 수는 있지만, 이 명제의 역인, 각각의 함수들이 연속일 때 그 구간들의 합이 실수 전 구간을 표현하더라도, $f(x)$가 연속이라고는 장담할 수 없다는 점에 있다. 왜 그런 것일까? 이 문제는 너무나도 당연해보이는 위의 역 명제가 왜 거짓인가를 의심하는 데서 시작하는 것이다.

 

좌극한, 우극한, 함숫값이 일치한다는 것은 적어도 저것들이 모두 존재한다는 이야기이다

이제는 진짜 문제를 풀어보아야 하니, 함수의 연속에 대한 정의를 다시 한번 살펴보자. $f(x)$가 연속함수라는 것의 정의는

 

$f(x)$가 연속이다. $\Leftrightarrow$ 모든 $x$에 대하여 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 일치한다.

 

를 의미한다. 그리고 모든 $x$가 아닌 $x=a$라는 한 점에서 연속이라는 의미 역시 또한

 

$f(x)$가 $x=a$에서 연속이다. $\Leftrightarrow$ $x=a$에 대하여 $ \displaystyle \lim_{x \to a-}{f(x)} $, $ \displaystyle \lim_{x \to a +}{f(x)} $, $f(a)$가 모두 일치한다.

 

라고 정의한다. 

 

이 말은 결국 좌극한, 우극한, 함숫값이 어찌됐든 모두 "존재는 한다"라는 것이 기본으로 전제된다는 이야기가 된다. 존재는 해야 일치하는지 비교해볼 것이 아닌가? 그렇다면 우선 

$$f(x) = 5x + a \quad (x<-2) $$

부터 살펴보자.

 

우리는 우선 기본적인 $x$에 관한 다항식은 언제나 모든 실수 구간에서 연속임을 알고 있다(해당 포스팅 참고). 즉, 위에서 살펴보려는 $5x+a$라는 함수 역시 $a$와 상관없이 모든 실수 구간에서 연속이고, 그 부분인 $x<-2$구간에 대해서도 연속이다. 

 

여기서 우리가 하나 알아야 할 실수의 성질이 있는데, 실수는 너무 촘촘하게 있어서 두 실수 사이에는 반드시 무한한 실수가 존재하며, 만약 두 실수 사이에 어떤 수도 존재하지 않는다면, 그 두 수는 사실 같은 수라는 성질이다. 이를 "실수의 완비성"이라고 하지만, 이를 증명하는 것은 교육과정을 넘어서는 이야기이므로, 이런 성질이 있다는 사실만 알아두도록 하자. 

 

여기서, $-2$보다는 작지만 $-2$와 아주아주 가까운 실수 $s$(하지만 $-2$는 아니다.)가 있다고 가정해보자. 

어찌됐든 임의의$s$는 $-2$와 아무리 가깝더라도 $-2$보다 작은 수이며, $-2$는 아니기 때문에, 실수의 완비성에 따라 $s$와 $-2$사이의 실수 구간이 반드시 존재하므로, $-2$보다 작은 어떤 실수 $s$를 가지고 오더라도 이 사실은 변하지 않으면서, 동시에 $f(x) = 5x+a$ 자체는 실수 전 구간에서 연속함수(다항함수는 항상 연속)이므로, $x=s$에 대하여 좌극한, 우극한, 함숫값은 항상 일치한다는 것은 너무나도 당연한 이야기이다. 

$$ \lim_{x \to s}{f(x)} = f(s) $$

이런 이야기가 가능한 것은 결국 $s$가 어찌됐든 $-2$는 아니므로, 실수의 완비성이라는 성질을 이용할 수 있기 때문.

 

또한, $f(x) = x^2 - a \quad (x \ge -2)$ 역시 위와 같은 이유로 $x > -2$에 대해서는 항상 연속임을 설명할 수 있다. 하지만, $ x = -2 $일 때의 이야기는 조금 다르다. 

$x > -2$인 구간에서야 $-2$와 $x$사이에는 반드시 실수구간이 존재하니 좌극한이 있을 수 있겠지만, $x = -2$일 때는 $-2$보다 작으면서 $-2$보다 큰 실수구간이란 말로만 표현하더라도 존재할 수 없기 때문에, 좌극한이 정의되지 않는다. 따라서 $f(x)$는 $x=-2$에서 좌극한이 존재하지 않기 때문에, 정의에 따라 연속이 아니게 된다. 

 

즉, $x < -2$, $x > -2$에서는 연속이지만, $x = -2$에서 연속이 아니다. 반대로 이야기하면, 문제와 같이 모든 실수 $x$에 대해 연속이 되게 하려면, 다른 부분은 상관없이 $x = -2$에서 연속이면 된다는 의미. 따라서 위의 문제는 다음을 묻는 것과 같다. 

 

"$f(x)$가 $x=-2$에서 연속이 되게 하는 실수 $a$ 값을 찾으시오."

 

 

사실 문제 풀이 자체는 쉽다. 하지만 그 과정이 사실 완벽하지는 않다. 

지금까지는 함수를 각각 끊어서 보았으므로 구간에 따른 정의가 달라졌지만, 사실 $f(x)$는 모든 실수 $x$에 대해서 정의되는 함수이다. 

 $ x^2 - a \quad (x \ge -2) $에 대해서 좌극한이 정의되지 않는다고 했을 뿐이지, 구간을 제외하고 보면 위 함수는 실수 전체에서 연속이므로

$$ \lim_{x \to -2+}{f(x)} = f(-2) = (-2)^2 - a = 4 - a$$

우극한과 함숫값은 위와 같다. 결국 우리는 지금 정의되지 않은 좌극한만 구해보면 된다. 좌극한은 -2보다 작은 쪽에서 정의되는 극한값이므로, $x < -2$에서 정의되는 함수 "$5x+a$"의 좌극한을 구하면 된다.

$$ \lim_{x \to -2 -}\{5x+a\} = 5 \cdot (-2) + a = a - 10 \cdots ?$$

따라서,

$$ \begin{align} 4-a & = a - 10 \\ \\ 2a & = 14 \\ \\ a & = 7 \end{align} $$

으로 답은 ②이다. 그런데 사실 조금 찝찝한 구석이 없지 않아 있다. 

 

먼저 왜 좌극한 값이 $ a- 10$인가? 더 자세히 말하면, $5x + a$에 대해서 -2를 대입한 $f(-2)$로 극한값을 구하는 게 올바른가?에 대한 의구심이다. 왜냐하면 $5x+a$는 -2에서 정의되지 않기 때문. 수학에 관심이 있는 사람이라면, 이런 형식의 문제를 풀 때, 위와 같은 의구심이 항상 들었을 것이다. -2에서 정의되지 않는데 극한값을 구할 때는 왜 -2를 대입하여 그 값을 구하여도 되는 거지?

 

사실 이를 고등학교 교육과정에서 설명하기란 불가능하다. 해석학적인 개념(입실론-델타 논법)으로 극한값이 존재한다는 것은 ① 어떤 함수가 해당 값보다 항상 작거나 항상 커야 하고(이는 여러 개일 수 있다) ② 앞의 1번을 만족하는 수들 중 가장 크거나 가장 작아야 한다. 어차피 입실론-델타의 개념을 모르기 때문에, 애초에 극한이 존재한다는 것 자체를 설명하는 게 불가능하다.

 

따라서 우리는 이전 포스팅부터 지금까지 살펴 본 모든 개념을 통해 다음과 같은 논리 구조로 설명해보려고 한다.

 

$f(x)$의 구성인 $5x+a$와 $x^2-a$를 각각 모든 실수에서 정의되는 $g(x), \, h(x)$라고 해보자. -2에서의 $g(x)$의 좌극한은 $g(x)$가 연속함수이기 때문에, 쉽게 $g(-2)$로 구할 수 있다. 다만, 이 때의 좌극한이 사실상 $f(x)$의 좌극한과 같으므로 

$$ \lim_{x \to -2-}{f(x)} = g(-2) \neq f(-2) $$

즉, 모든 실수에서 정의된 $5x+a$라는 함수에서 좌극한 값을 연속함수의 성질에 따라 함숫값과 일치한다는 것을 통해 위 $f(x)$의 -2에서의 좌극한 값을 유추해낸다는 것이다. 결국 $f(-2), \, (x <-2)$로 -2에서 정의되지 않았어도 그냥 대입해서 푸는 것과 전혀 다를 바가 없지만, 이런 과정이 있음을 알고 접근하는 것과 그냥 문제풀이를 위한 직관적인 암기는 당연히 다르다. 

 

결국 $g(x), \, h(x)$의 부분집합들로 만든 $f(x)$라는 함수는 $a=7$일 때, 모든 실수 $x$에 대해 연속이다. 따라서 답은 ②