중학생이 풀어보는 수능 수학 - 2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 5번, 곱함수의 미분가능성

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2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 5번 (2025. 11. 14.)

지난포스팅으로 해서 풀이를 모두 마쳤지만, 이번에는 다른 방법으로 문제를 접근해보도록 하겠다. 

2025.02.07 - [수학 이야기] - 중학생이 풀어보는 수능 수학 - 2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 5번, 미분의 성질, 다항식의 미분 그리고 문제 풀이

중학생이 풀어보는 수능 수학 - 2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 5번, 미분의 성질, 다항식

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함수를 서로 곱해도 미분가능한가?

문제의 함수 $f(x) = (x^2+1)(3x^2-x)$를 풀어쓰는 것이 아닌, 두 함수의 곱으로 표현됐다고 생각해보자. 

$$ g(x) = x^2+1 $$

$$ h(x) = 3x^2 - x $$

라고 정의하면 지난 포스팅에 따라 각각의 $g(x), \, h(x)$는 모든 실수 $x$에 대하여 미분가능하다는 사실은 당연한 이야기이다.( = $ax^n$꼴의 단항식들의 덧셈으로 이루어진 다항식은 항상 미분 가능하다)

 

그렇다면 이 두 함수의 곱인 $g(x) \cdot h(x) = f(x)$도 미분가능할까? 다시 한번 "미분가능하다"의 의미를 되짚어보면

 

미분가능하다 ⇔ 미분계수가 존재한다 ⇔ 극한값이 존재한다(미분의 정의에 의한)

 

따라서, 우리는 아래의 극한이 존재함을 보이면 된다. 

$$ \{ g(x)h(x) \} ' = \lim_{h \to 0}{\frac{g(x+h)h(x+h) - g(x)h(x)}{h}} \cdots (1) $$

 

우리가 알고 있는 전제는 $g(x), \, h(x)$는 각각은 미분이 가능하다는 것. 즉, 

$$ g'(x) = \lim_{h \to 0}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}} \cdots (2)$$

$$ h'(x) = \lim_{h \to 0}{\frac{h(x+h)-h(x)}{h}} \cdots (3)$$

의 극한은 존재한다는 사실이다. 즉 위의 (2), (3)를 이용하여 (1)이 존재하는지를 살펴보는 것이 우리의 목표다.

 

분모는 어차피 모두 $h$로 같으므로, 분자를 위의 (2), (3)의 형태로 만들어 볼 필요가 있어보인다. $h(x+h)$를 임의로 없앨 수는 없으니 $h(x+h)$로 묶어 (2)의 모습을 만들고자 한다. 즉, 

 

$$g(x+h)h(x+h) \Rightarrow h(x+h) \{ g(x+h) - g(x) \}$$

 

이런 모양으로 바꾸겠다는 것. 따라서, 분자는 다음과 같이 쓸 수 있다. 

 

$ g(x+h)h(x+h) - g(x)h(x) = g(x+h)h(x+h)$ $ - g(x)h(x+h) + g(x)h(x+h) $ $- g(x)h(x)$

 

이를 정리하면,

 

$$ \begin{align} & g(x+h)h(x+h) - g(x)h(x+h) + g(x)h(x+h) - g(x)h(x) \\ \\ &= h(x+h) \{ g(x+h) - g(x) \} + g(x) \{ h(x+h) - h(x) \} \end{align}$$

 

이렇게 정리한 식을 그대로 (1)에 다시 대입해보자

 

$$ \begin{align} & \lim_{h \to 0}{\frac{g(x+h)h(x+h) - g(x)h(x)}{h}} \\ \\ = & \lim_{h \to 0}{\frac{h(x+h) \{g(x+h) - g(x) \} +g(x) \{ h(x+h) - h(x) \} }{h}} \\ \\ = & \lim_{h \to 0}{ \biggl[  h(x+h) \frac{g(x+h) - g(x)}{h} + g(x) \frac{h(x+h) - h(x)}{h} \biggr] } \end{align} $$

 

극한의 성질을 다룰 때 항상 강조하고 또 강조하지만, $ \lim{f(x)} = L, \lim{g(x)} = M$으로 "각각 극한이 존재"해야 극한의 성질을 이용할 수 있다. 즉 위의 식을 "+"을 기준으로, 절대 바로 나눌 수 없다. (항상 기본과 정의를 올바르게 적용하는 공부를 하는 것이 수학을 잘하는 지름길이다)

 

따라서, "+"를 기준으로 각각의 식들이 극한을 갖는지부터 확인하여야 한다. 

 

먼저, 

 

$$ \lim_{h \to 0}{h(x+h) \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$

 

의 경우, $ \displaystyle \lim_{h \to 0}{h(x+h)} = h(x)$로 일반적인 다항식의 모습을 하고 있으므로 당연히 극한이 존재(해당 포스팅 참고)하고, $ \displaystyle \lim_{h \to 0}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h} = g'(x) $로 (2)에 따라, 미분계수의 형태로 극한이 반드시 존재하게 된다. 즉, 

 

$$ \begin{align} & \lim_{h \to 0}{ \biggl\{ h(x+h) \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \biggr\} } \\ \\ = & \lim_{h \to 0}{h(x+h)} \cdot \lim_{h \to 0}{\frac{g(x+h) - g(x)}{h}} \\ \\ = & g'(x)h(x) \end{align} $$

 

이 된다. 

 

같은 이유로

 

$$ \begin{align} & \lim_{h \to 0}{ \biggl\{ g(x) \frac{h(x+h) - h(x)}{h} \biggr\} } \\ \\ = & \lim_{h \to 0}{g(x)} \cdot \lim_{h \to 0}{\frac{h(x+h)-h(x)}{h}} \\ \\ = & g(x)h'(x) \end{align} $$

 

따라서, "+"을 기준으로 양 옆의 식들이 모두 극한값을 "각각" 가지므로,

 

$$ \begin{align} & \lim_{h \to 0}{ \biggl[ h(x+h) \frac{g(x+h)-g(x)}{h} + g(x) \frac{h(x+h)-h(x)}{h} \biggr] } \\ \\ = & \lim_{h \to 0}{ \biggl\{  h(x+h) \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \biggr\}  } + \lim_{h \to 0}{ \biggl\{  g(x) \frac{h(x+h)-h(x)}{h} \biggr\} } \\ \\ = & g'(x)h(x) + g(x)h'(x) \end{align} $$

 

로 극한을 각각 취할 수 있다. 결국 맨 처음 우리가 구하고자 했던 (1)식은

 

$$ \begin{align} \{ g(x)h(x) \} ' & = \lim_{h \to 0}{\frac{g(x+h)h(x+h)-g(x)h(x)}{h}} \\ \\ & = g'(x)h(x) + g(x)h'(x) \end{align} $$

 

으로 극한값이 존재하므로, 미분이 가능함과 동시에, 어떤 형태로 미분을 갖는지도 알 수 있다. 

 

 

그렇다면 이 공식을 이용하여 문제를 풀어보자. 

문제는 $ f(x) = (x^2+1)(3x^2 - x) $에 대하여 $f'(1)$을 구하라는 문제이다. 마찬가지로 $g(x) = x^2+1, \, h(x) = 3x^2 - x$라고 가정할 경우

 

$$ g'(x) = 2x, \,  h'(x) = 6x - 1$$

 

이므로(이전 포스팅 참고), $f'(x)$는 다음과 같다. 

 

$$ \begin{align} f'(x) & = \{ g(x)h(x) \} ' \\ \\ & = g'(x)h(x) + g(x)h'(x) \\ \\ & = 2x(3x^2 - x) + (x^2+1)(6x-1) \end{align} $$

 

$x = 1$일 때의 미분계수를 구하는 것이므로,

 

$$ f'(1) = 2(3-1) + (1+1)(6-1) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 5 = 14 $$

 

미분 자체가 어려운 식이 아니기 때문에, 전개 후 푸는 것보다 위와 같이 곱함수의 미분을 활용하는 것이 더 쉽게 해결할 수 있다.

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이 문제에 한정해서는 곱함수의 대상인 $g(x), \, h(x)$가 모든 실수 $x$에 대해서 미분가능하기 때문에 사실 전제조건에 대한 고민 없이 그냥 미분하면 되므로 쉬운 편이다. 항상 곱함수의 미분이 어려워지는 경우는 꼭 곱해지는 두 함수 중 하나가 미분 불가능함에도 곱하면 미분가능해지는 경우가 있기 때문이다.

 

그런 경우에는 미분가능함을 어떻게 보여야 할까? 결국 극한값을 찾는다는 원칙대로 풀어나가야 한다. 그러니 더더욱 기초를 확실히 해야 하는 법이다. 위의 곱함수의 미분계수를 찾아가는 과정을, 특히 극한의 성질을 이용하는 부분을 곱씹어 볼 필요가 있다.