중학생이 풀어보는 수능 수학 - 2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 4번, 명제와 논리의 관계

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2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 4번 (2025. 11. 14.)

연속에 관련된 문제이므로, 극한과 아주 밀접한 관계가 있다. 아래의 포스팅을 반드시 참고

연속함수의 정의 : https://wkqtkdtlr.tistory.com/385

연속함수의 성질 : https://wkqtkdtlr.tistory.com/408

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위의 포스팅을 통해 우리가 가장 일반적으로 알고 있는, $x^n$의 합으로 이루어진 다항식들은 무조건 연속임을 알고 있다. 따라서 문제에서 주어진 $5x+a$와 $x^2 - a$는 항상 연속이라는 것은 고민할 것이 없는 사실이다. 단, $x$가 -2를 기준으로 함수가 나뉜다는 조건이 있다는 점이 다르다. 

 

명제와 논리

아래와 같은 함수가 있다고 가정해보자. 

$$ g(x) \begin{cases} \; g_1 (x) \; & (x<0) \\ \\ \; g_2 (x) \; & (x \ge 0) \end{cases} $$

해당 함수 $g_1(x)$, $g_2(x)$는 해당 조건하에서 연속이다.

 

그렇다면 $g_1(x)$는 $x<0$에서 연속이지만, 모든 실수 $x$에 대해서 연속이라고 할 수 있는가? 그렇지 않다. 왜냐하면 해당 함수 자체가 $x \ge 0$에서 정의되지 않기 때문이다.  

반대로, $g_1(x)$가 모든 실수에서 연속이다면 그 부분인 $x<0$에서 연속이다고 할 수 있는가? 어찌보면 당연해 보이는 것이지만 연속의 정의에 따라 접근해보도록 하자. 먼저 "함수가 연속이다."라는 것의 정의는 

 

$f(x)$가 연속이다. $\Leftrightarrow$ 모든 $x$에 대하여 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 일치한다.

 

이쯤에서 우리는 어떠한 수학논리가 갖는 특징 중 하나를 따져보고자 한다. 아래의 그림을 살펴보면

모든 경우에 대해서 진실이라는 것은 그 일부 경우에 대해서도 진실이라는 것을 의미한다. 어떤 사실이 진실일 때, 그것보다 더 넓은 범위의 사실도 진실이냐는 것을 증명하는 것은 굉장히 어려운 일이지만, 이미 진실로 정의된 사실들에 대해서 그보다 적은 범위의 일부도 진실이냐는 것은 쉽게 유추할 수 있는 내용이다. 

 

여기서 진실이라 함은 "truth"로 거짓이 아닌 사실을 이야기한다. 진실과 사실은 어감이 너무 비슷하기도 하고 수학에서는 이러한 진실을 "참"이라고 부른다. 앞으로 우리들도 진실된 사실을 "참"이라고 부르기로 한다. 오른쪽 밴다이어그램을 이용하여 집합의 관계로 이를 표현하자면, 

 

참인 명제들의 집합인 $P$, 그 부분들로 모은 집합인 $Q$에 대해서 이 집합들을 아우르는 각각의 사실들 $p$, $q$에 대해서

 

$$ P \supset Q \; \Rightarrow p \rightarrow q $$

 

를 만족하게 된다. 갑자기 수학적으로 표현하니 눈에 확 들어오지는 않을 것이다. 그러므로 위의 문제로 이를 다시 접근해보자.

$x$가 어떤 값이든 그 값에서 함수 $f(x)$가 연속이다는 것은, 결국 $x$에 대응되는 임의의 실수 $a$ 어떤 것을 가지고 오더라도 $x=a$에서 $f(x)$는 연속이라는 것을 의미한다. 이런 모든 실수에 대한 명제들의 집합을 $P$라고 정의하고, 그 중 $x<0$인 경우만을 뽑아 새로운 집합 $Q$를 정의하면, 

$$ P \supset Q $$

{$x$는 모든 실수} $\supset$ {$x<0$}

 

즉 $Q$는 $P$의 부분집합이 된다.

 

이 때, 집합 $P$를 한마디로 표현하면 "$f(x)$는 모든 실수 $x$에서 연속이다."라고 표현할 수 있고, 이렇게 집합 $P$를 모두 정의할 수 있는 하나의 명제를 $p$라고 하자.

 

$p$ : $f(x)$는 모든 실수 $x$에서 연속이다.

 

같은 방식으로 집합 $Q$는 실수 $x$ 중에서 0보다 작은 $x$만을 모아 만든 집합이라고 하면, 집합 $Q$를 모두 정의할 수 있는 명제 $q$는 다음과 같다.

 

$q$ : $f(x)$는 $x<0$인 모든 $x$에서 연속이다. 

 

즉 $p$가 참이라면 전제하에서 $q$ 역시 참이다. 이를 "$ p \rightarrow q $"라고 표현한다. 

 

 

역은 반드시 성립하지 않는다

다음의 명제를 살펴보자.

 

"$x+1 = 0$" 이라면, "$x = -1$"이다.

 

여기서 $p$ : $x+1=0$, $q$ : $x = -1$이라고 하면, 위에서 살펴 본 바와 마찬가지로 "$p \rightarrow q$"라고 표현할 수 있다. 그렇다면 이번엔 반대로 "$p \leftarrow q$"라고 해보자. 그렇다면 위의 문장은 다음과 같이 바뀐다. 

 

"$x = -1$"이면, "$x+1 = 0$"이다. 

 

이 역시 너무나도 당연히 맞는 이야기이다. 즉, "$p \rightarrow q$" 이면서 "$p \leftarrow q$"이다. 이를 합쳐서

 

$$ p \leftrightarrow q$$

 

라고 표현하며, "$p \leftarrow q$"는 $p \rightarrow q$의 역방향이므로 이를 $p \rightarrow q$의 역이라고 한다. 다만 명제가 참이라고 하여, 이 명제의 역이 항상 참이라고 할 수는 없다. 만약

 

$x$가 4의 배수라면, $x$는 짝수이다. 

 

$x$가 4의 배수라면 $x$는 항상 짝수지만, 그 역인 $x$가 짝수라고 하여 반드시 $x$가 4의 배수는 아니다. 6, 10, … 만 보더라도 알 수 있다. 

 

그렇다면 위 문제와 관련된 다음의 명제를 살펴보도록 하자.

 

$f(x)$는 모든 실수 $x$에서 연속이다. $\rightarrow$ $ f(x) = \begin{cases} g(x) & (x < -2) \\ \\ h(x) & (x \ge -2) \end{cases}$

 

$f(x)$가 모든 실수 $x$에서 연속이라면, $g(x)$는 $x<-2$ 범위 안에서 항상 연속이며, $h(x)$는 $x \ge -2$ 범위 안에서 항상 연속이다(부분집합은 항상 참이므로). 하지만 위의 문제는 이 명제의 역인

 

$ f(x) = \begin{cases} g(x) & (x < -2) \\ \\ h(x) & (x \ge -2) \end{cases}$ $\rightarrow$ $f(x)$는 모든 실수 $x$에서 연속이다.

 

즉, $g(x) = 5x + a$, $h(x) = x^2 -a$가 각각의 범위안에서 연속일 때, $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대해 연속(역 명제)이라고 보장할 수 없다는 것이다. 즉, 이 명제를 거짓으로 만드는 "반례"가 있을 가능성이 있기 때문에, 이를 해소할 수 있는 "a"를 찾으라는 것이 이 문제의 포인트

 

그럼 이를 어떻게 활용하여 문제를 풀 것인가? 이는 다음 포스팅에서 살펴보자.

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