2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 3번 (2025. 11. 14.)
등비수열이란?
등비수열이란 단어는 "등비 + 수열" 의 합성어이다. 즉, 등비수열이 가지는 정의는 ① 수열 ② 등비로 표현이 가능하다. 그렇다면 먼저 수열이라는 것이 무엇인지 알아보자.
수열(數列)이란, 말 그대로 수(數)의 배열(排列)이라는 뜻으로, 수를 나열했다는 뜻이다. 수를 나열하기만 했다면 어떤 집합이라도 다 수열이 될 수 있다. 예를 들어보자.
$$ 1, \, 5, \, 9, \, 10, \, 38, \, 392, \, 293, \, \cdots \, ,3959, \, \cdots \; (1)$$
이런식으로 수를 나열한 것들은 모두 수열이 된다. 다만, 이렇게 의미없이 나열한 수들의 집합이 우리에게, 특히 수학이라는 학문을 탐구하는 우리에게 큰 의미가 있겠는가? 즉, 이렇게 무한히 만들어질 수 있는 수열 중에서도 우리에게 가치가 있는 수열들을 특별히 다루게 되는데, 여기에서 말하는 가치가 있는 수열이라 함은 바로 "규칙성"을 갖고 있어야 한다는 점이다.
$$ 1, \, 5, \, 9, \, 13, \, 17, \, 21, \, \cdots \, , 401, \, \cdots \; (2)$$
위의 수열은 어떤가? (1)의 경우에는 아무 규칙이 없이 나열한 수열이지만, (2)의 경우에는 특별한 규칙이 있다. 1 → 5 → 9 → 13 → … 으로 단순히 증가하기만 하는 것 같지만, 다음 수는 반드시 이전 수에서 4를 더한 값이다.
$$ 5 = 1 + 4 $$
$$ 9 = 5 + 4 $$
$$ 13 = 9 + 4 $$
$$ \cdots $$
이것은 무엇을 의미하는 것일까? (1)의 경우에는 나열을 해놓고는 있지만 293 다음의 수는 이 수열을 만든 사람이 알려주기 전까지는 그 다음 수를 알 수가 없다. 하지만 (2)의 경우에는 21까지만 나열되어 있다고 하더라도 21 다음은 21 + 4 인 25라는 것을 추측할 수 있다.
또한 (1)의 경우에는 3959라는 숫자 역시, 이 수열을 만든 사람이 3959가 위 수열을 이루는 하나의 구성원인지, 그리고 몇번째 구성원인지를 직접 알려주어야 알 수 있지만, (2)의 경우에는 누구라도 401이라는 숫자가 21, 25, 29, … 형식으로 계속 늘려가다보면, 해당 수열의 101번째 구성원임을 알아볼 수 있게 된다(시간은 조금 걸릴지라도 말이다.)
이렇듯 규칙성을 가지고 있다는 것은, 수열을 만들어 낸 한 사람에게 휘둘리는 것이 아니라, 규칙만 있다면 누구나 같은 결과를 만들어 낼 수 있다는 것을 의미한다. 즉, 사람과 관계없이 통일된다는 이야기이다. (1)의 경우에는 그 수열을 만든 사람이 필요하지만, (2)의 경우에는 규칙만 알면 누구나 사용할 수 있다는 이야기, 즉, 수열 자체가 "가치"를 가지게 된 것이다.
누구에게나 사용될 수 있다는 것은, 누구에게나 불릴 수 있는 공통의 이름이 있어야 한다는 것을 의미한다. 수열은 각각의 구성원들이 순서대로 배열되어 있기 때문에, 그 순서에 맞게 첫번째 구성원을 a₁, 두번째 구성원을 a₂과 같이 표현하기로 약속한다.
$$ \begin{align} & 1, \;\; 5, \;\; 9, \; \, \cdots \, , 401, \, \cdots \; (2) \\ & a_1, \, a_2, \, a_3, \cdots \, , a_{101}, \cdots \; \Rightarrow a_n \end{align}$$
그리고 이러한 수열, 수들의 집합을 {a_n}라 하며, 줄여서 a_n으로 부르기도 하지만, n번째 구성원을 나타내는 문자인 a_n과 혼동되므로, 여기서는 {a_n}만 쓰기로 한다.
등비란?
이렇게 특별한 관계를 가지고 있는 수열은 우리 주변에도 여럿 존재한다.
$$ \mathbb{N} = \{ 1, \, 2, \, 3, \, \cdots , \, n, \, \cdots \} $$
위의 자연수의 집합도 바꾸어 이야기하면, 1부터 시작해서 1씩 증가하는 수열과 똑같다. 이렇게 간단한 수열도 있는 반면,
$$ a_n = \left\{ \begin{align} & \frac{a_{n-1}}{2} \; (a_{n-1}이 \, 짝수) \\ \\ & 3a_{n-1} + 1 \; (a_{n-1}이 \, 홀수) \end{align} \right. $$
a₁ = 3이라면,
$$ 3, \, 10, \, 5, \, 16, \, 8, \, 4, \, 2, \, 1, \, 4, \, 2, \, 1, \, \cdots $$
이렇게 복잡하지만 규칙은 존재하는 수열도 만들 수 있다.(위의 수열은 콜라츠 추측이라는 난제이며, 어떤 수에서 시작하든 최종적으로 1로 간다는 것이고 아직 증명되지 않았다.)
어떤 수가 규칙성을 가진다고 할 때, 가장 간단한 규칙은 무엇이 있겠냐 물으면, 대부분의 사람들은 "같은 값으로 증가하거나, 같은 비율로 증가하는 수열"을 이야기 할 것이다. 같은 값으로 증가하는 것을 차이가 같다고 하여 등차(等差), 같은 비율로 증가하는 것을 비율이 같다고 하여 등비(等比)라고 부른다. 위의 (1)수열이 4씩 같은 값으로 증가하는 수열이므로, 등차수열이라고 부른다. 하지만 우리가 이번에 알아보려는 것은 "등비"수열이다.
어떤 등비수열 a_n을 다음과 같이 정의하도록 하자
$$ \{ a_n \} = \{ a_1, \, a_2, \, a_3, \, \cdots , \, a_n, \, \cdots \} $$
이 때, 우리는 각각의 구성원들을 "항"이라고 부른다. a₁은 첫째 항, a₂은 둘째 항, 이런식으로 말이다.
여기서 비율이 같다는 의미는 첫째 항과 둘째 항이 이루는 비율, 둘째 항과 셋째 항이 이루는 비율 ⇒ a₁과 a₂의 비율과 a₂와 a₃의 비율이 같다는 것으로
$$ \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = r$$
라고 표현할 수 있다. 이때 항상 유지되는 그 비율을 공비(公比 → 모두 같은 비율이라는 뜻)라고 하며, 보통 r ( → ratio)이라고 한다. a₁을 a라고 하고 그 공비를 r이라고 할 때 위의 식은 다음과 같이 바꾸어 두 개의 식으로 나타낼 수 있다.
$$ \begin{align} & \frac{a_2}{a_1} = r \; \Rightarrow \; a_2 = ar \\ \\ & \frac{a_3}{a_2} = r \; \Rightarrow \; a_3 = a_2 r = (ar)r = ar^2 \end{align}$$
어렵게 말해왔지만 결국, 등차수열이 같은 수만큼 증가(감소)하는 수열이라면, 등비수열은 같은 수, 공비를 계속 곱해가는 수열이다.
등비수열을 일반화해보자
위의 약속들을 정리해보면, 수열 {a_n}은 첫째 항 a, 공비를 r로 갖는 등비수열이라고 말할 수 있다. 따라서, 둘째 항은 첫째 항에서 등비를 곱한 것이므로 ar이 된다. 그렇다면 n번째 항 a_n은 a와 r을 이용하여 표현할 수 없을까?
$$ \begin{align} & a_1 = a \\ \\ & a_2 = a_1 r = ar \\ \\ & a_3 = a_2 r = (ar)r = ar^2 \\ \\ & a_4 = a_3 r = (ar^2)r = ar^3 \\ \\ & a_5 = a_4 r = (ar^3)r = ar^3 \\ \\ & \cdots \end{align} $$
둘째 항은 첫째 항에서 공비를 1번 곱한 것, 셋째 항은 첫째 항에서 공비를 2번 곱한 것, … , 이와 같은 패턴을 보이므로 n번째 항은 첫째 항에서 공비를 n-1번 곱한 것이라고 할 수 있다.
즉, 등비수열의 n번째 항 a_n은 다음과 같다.
$$ a_n = ar^{n-1} $$
예를 들어 첫째항이 3이고, 공비가 2인 수열의 n번째 항은 다음과 같다.
$$ a_n = 3 \cdot 2^{n-1} $$
그렇다면 위 수열의 10번째 항은 어떤 값일까? 계산해보자.
$$ a_{100} = 3 \cdot 2^{10-1} = 3 \cdot 512 = 1536 $$
이로써, 우리는 위의 수열을 다른 사람과 공유할 때,
$$ \{ a_n \} = \{ 3, \, 6, \, 12, \, 24, \, \cdots \} $$
식으로 많은 수열을 나열하여 알리는 것이 아니라,
$$ a_n = 3 \cdot 2^{n-1} $$
라는 하나의 수식으로, 더 직관적으로 모든 항을 표현하여 공유할 수 있게 되었다. 즉, 일반화한 것이다.
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중학생이 풀어보는 수능 수학 - 2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 3번, 등비수열의 정의와
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