2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 2번 (2025. 11. 14.)
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중학생이 풀어보는 수능 수학 - 2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 2번, 함수의 극한이란? 좌
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┃함수들의 극한이 각각 존재한다면, 이를 더한 함수의 극한도 존재한다.
먼저 극한이 존재하는 두 개의 함수 f(x), g(x)가 다음을 만족한다고 가정하자.
$$ \lim_{x \to a} f(x) = L, \; \lim_{x \to a} g(x) = M $$
이 두 개의 함수는 x가 a에 가까워질때 각각 L, M이라는 극한값을 갖는다. 그렇다면, 이 각각의 함수가 극한을 가질 때, 이를 더한 함수의 극한은 존재할 것인지에 대해 수학자들은 궁금하기 시작했다. 특히나,
$$ \lim_{x \to a} f(x) = L, \; \lim_{x \to a} g(x) = M \; \Rightarrow \; \lim_{x \to a} { \{f(x)+g(x) \} } = L+M $$
로 그 극한값이 다른 제3의 숫자가 아닌 각각의 함수가 갖는 극한값의 합으로 표현이 가능할까? 라는 것이다. 아무것도 아닌 것 같지만, 이것이 성립한다면 극한도 일반 사칙연산과 같은 계산이 가능하다는 것을 의미한다.
이는 사실 "엡실론-델타 논법"이라는 것을 통해 손쉽게 증명이 가능하다. 엡실론 델타 논법이 아니더라도 지난 포스팅에서 필자가 선택한 극한의 정의로도 증명할 수는 있지만, 이 경우에는 답을 정해두고 짜맞추는 방식으로의 증명만 가능하므로, 좋은 방법은 아니다. 그렇다고 엡실론-델타 논법을 끌고 가기에는 대놓고 교육과정을 벗어나는 범위이기에 우선 이곳에서 다루지는 않겠다.
어차피 수능에서 원하는 것은 주어진 조건 하에서 얼마나 수학적인 논리를 펼쳐서 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 것이지, 왜 그렇게 되는지에 대한 수학적 엄밀한 정의를 내리는 것까지는 원하지 않는다. 이는 대학수학에서 수학을 전문적으로 배우기 시작하면서 가져야 할 의문이므로, 우선은 이를 잠시 접어두고 함수의 극한은 다음과 같은 성질을 갖는다는 사실만 알아두도록 하자.
$$ \begin{align} & \lim_{x \to a} f(x) = L, \; \lim_{x \to a} g(x) = M \; 일 \; 때, \\ \\ \\ & 1) \; \lim_{x \to a} cf(x) = c \lim_{x \to a} f(x) = cL \; (c는 \; 상수) \\ \\ & 2) \; \lim_{x \to a} { \{ f(x) + g(x) \} } = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) = L+M \\ \\ & 3) \; \lim_{x \to a} f(x)g(x) = {\lim_{x \to a}{f(x)}} \cdot {\lim_{x \to a} g(x)} = LM \\ \\ & 4) \; \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \lim_{x \to a} f(x) }{ \lim_{x \to a} g(x) } = \frac{L}{M} \; (단, \; M \neq 0) \end{align} $$
여기에서 생각보다 학생들이 놓치는 부분이 바로, 전제조건이다. 함수 각각의 극한이 존재할 때, 그 함수의 합의 극한이 각각의 극한값을 더한 것과 같다는 것이고, 이에 대한 역은 성립하지 않음에도, 이를 너무나도 당연하게 여기는 경우가 있다는 것.
만약, 아래와 같이
$$ \lim_{x \to a} \{f(x) + g(x) \} = 0 \; \Rightarrow \; \lim_{x \to a} f(x) = - \lim_{x \to a} g(x) $$
f(x)와 g(x)를 서로 합한 함수가 a에서 0으로 수렴하면, f(x)와 g(x)는 서로 부호만 다른 관계라고 정의할 수 없다는 뜻이다. 왜냐하면, f(x)와 g(x)가 각각 특별한 극한값을 가지고 있어야만, limf(x)와 limg(x)로 분리할 수 있는 것이기 때문이다.
┃f(x), g(x)가 연속함수였다면, 결국 함수의 극한 성질 = 연속함수의 성질이 된다.
지금은 함수의 극한으로만 알아보았지만, 지난 포스팅에서 알아본 바와 같이
$$ \lim_{x \to a} f(x) = L = f(a) $$
라면, a에서 f(x)는 연속이라고 말할 수 있으며, f(x)와 g(x)가 연속이라면 똑같이
$$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a), \; \lim_{x \to a}g(x) = g(a) $$
로 표현할 수 있기 때문에, 함수의 극한과 똑같이 L, M 대신 f(a), g(a)로 극한값이 존재한다는 전제를 만족하기 때문에, f(x)+g(x)를 합하더라도 다음과 같이 표현이 된다.
$$ \lim_{x \to a} \{ f(x) + g(x) \} = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) = f(a) + g(a) $$
쉽게 살펴보기 위해 f(x) + g(x) = h(x) 라고 치환해보면
$$ \lim_{x \to a} h(x) = f(a) + g(a) = h(a) $$
h(x)의 a에서의 극한값이 h(a)라는 것은 곧 h(x)가 a에서 연속임을 의미한다. 우리의 처음의 전제는 f(x), g(x)가 연속함수라는 것이었으므로, 이를 다시 정리하면
"f(x), g(x)가 연속이라면, f(x) + g(x)도 연속이다."
를 만족한다. 이는 함수의 극한 성질에 대해서 모두 만족하므로
f(x), g(x)가 연속이라면
1) c·f(x)도 연속이다.
2) f(x) + g(x)도 연속이다.
3) f(x)g(x)도 연속이다.
4) f(x)/g(x)도 연속이다. (단, g(x) ≠ 0)
라고도 표현할 수 있음을 의미한다. 이것은 무엇을 의미하는 것일까?
┃연속인 단항식의 조합으로 만든 다항식 형태의 함수는 연속이다.
말이 어려워 보이므로 가장 자주보이는 하나의 형태만 살펴보도록 하자. 지난 포스팅을 통해 f(x) = x 라는 함수는 연속임을 알고 있다. x만을 이용하여 만든 함수는 보통 다음과 같은 형태를 띄게 될 것이다.
$$ h(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-2} x^2 + a_{n-1} x + a_n $$
f(x) = x는 연속이므로, 3)의 성질에 의해
$$ f(x) \cdot f(x) = x \cdot x = x^2 $$
$$ \overbrace {f(x) \cdot f(x) \cdots f(x)}^n = \overbrace { x \cdot x \cdots x}^n = x^n $$
도 연속이라는 것을 의미하고, 다시 1)의 성질에 의해
$$ a_{n-2} x^2, \; a_0 x^n $$
과 같이 상수를 앞에 곱하여도 연속이다.
결국 h(x)를 구성하는 각각의 단항식들이 모두 연속이기 때문에, 2)의 성질에 따라 이를 모두 합한 h(x) 자체도 연속이 된다. 즉, 우리가 살펴볼
$$ f(x) = x^3 - 8x + 7 $$
이라는 함수 역시 연속이기 때문에,
$$ \lim_{h \to 0} f(h) = f(0) $$
이라는 극한 값을 갖게 된다는 것이다.
┃문제를 풀어보자
$$ f(x) = x^3 - 8x + 7 $$
에 대하여,
$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} $$
의 극한값을 구하라는 것이 이번 문제이다.
먼저 f(2+h) - f(2)는 어떤 함수인지 살펴보자.
$$ \begin{align} f(2+h) - f(2) & = (2+h)^3 - 8(2+h) + 7 - (-1) \; \cdots \; f(2) = -1 \\ \\ & = h^3 + 6h^2 + 12h + 8 - (16+8h) + 8 \\ \\ & = h^3 + 6h^2 + 4h \cdots \; (1) \end{align} $$
위에서 살펴본 바와 같이 f(2+h) - f(2)도 연속함수이고 h도 연속함수이므로, 각각의 함수들은 h가 0으로 가까이 갈 때
$$ \lim_{h \to 0} \{f(2+h) - f(2) \} = f(2+0) - f(2) = 0, \\ \; \lim_{h \to 0} h = 0 $$
이라는 극한값을 가진다. 분자, 분모가 모두 극한값을 가지므로 함수의 극한 성질을 활용할 수 있다(이것이 전제조건이었음을 절대로 잊지 말자) 이에 따라,
$$ \frac{ \lim_{h \to 0} \{ f(2+h) - f(2) \} }{ \lim_{h \to 0} h } = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} $$
하지만,
$$ \lim_{h \to 0} h = 0 $$
이기 때문에,
$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} \neq \frac{0}{0} $$
과 같이 0으로 나눌 수 없다는 것이다(함수의 극한 성질 4)의 조건)
따라서 (1)을 이용하여 문제로 주어진 극한식 자체를 변형해보자.
$$ \begin{align} \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} & = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 +6h^2 + 4h}{h} \\ \\ & = \lim_{h \to 0} {(h^2 + 6h + 4)} \\ \\ & = 4 \end{align} $$
즉, 극한으로 나누는 것이 아니라 주어진 식을 h로 분자, 분모를 약분하여 다항식의 꼴로 만들면, 위에서 살펴본 바와 같이 그 자체가 연속함수이기 때문에 그 극한값은 h에 0을 대입한 것과 같다. 그러므로 결국 극한값은 4로 답은 ④
사실 이 문제는 미분의 정의를 이용한 문제이다. 미분을 이용하면 10초만에도 풀 수 있는 문제이지만, 기본적으로 함수극한의 성질을 활용하고 싶었기에, 함수극한의 성질을 가지고 문제를 풀어보았다. 함수극한의 성질을 이용할 때 대부분의 사람들이 제일 간과하는 사실 중 하나가 바로 "전제조건"이다.
사실 문제풀이 부분에서 파란색 부분은 없어도 되는 과정이다. 0/0 꼴임을 확인할 필요 없이, 바로 식 자체를 전개하여 h로 약분만 하면 되니까. 다만 반대로, 왜 우리가 파란색 부분의 사고(思考)를 반드시 거쳐야 하는지도 꼭 생각해 볼 필요가 있다는 점을 강조하고 싶다.
