중학생이 풀어보는 수능 수학 - 2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 1번 문제 풀이

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2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 1번 (2025. 11. 14.)

 

지난 포스팅에서 중학과정에서 배우는 지수법칙을 정수, 유리수로 확장하는 방법에 대해서 이야기하였으므로, 이에 대한 이야기는 지난 포스팅을 참고하기 바란다

 

지수법칙의 확장 (자연수 → 정수) : https://wkqtkdtlr.tistory.com/373

지수법칙의 확장 (정수 → 유리수) : https://wkqtkdtlr.tistory.com/376

 

9월 모평 1번 풀이 : https://wkqtkdtlr.tistory.com/377

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┃이번에도 정의를 이용해서 먼저 풀어보자.

지수에 세제곱근과 1/3이 보였다면, 그 지수가 유리수이므로, 지난번에 강조했던 바와 마찬가지로, 그 밑이 0보다 큰 수여야 한다는 전제를 반드시 떠올려야 한다. 이런 습관은 굉장히 중요하다고 다시 한번 강조한다.

$$ \sqrt[3]{5} \quad \Rightarrow \quad 5>0 $$

$$ 25^{\frac{1}{3}} \quad \Rightarrow \quad 25>0 $$

그러므로 지수법칙을 쓰거나 제곱근을 유리수 범위에서 정의하는데 전혀 문제가 없다는 것을 알 수 있다.

 

그럼 이제 문제를 정의에 의해 접근해보자. 먼저 위의 두 수는 제곱근의 정의에 의해 다음과 같이 표현할 수 있다. 

$$ a = \sqrt[3]{5} \quad \Rightarrow \quad 5 = a \times a \times a $$

$$ b = 25^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{25} \quad \Rightarrow \quad 25 = b \times b \times b $$

 

위의 문제에서는 a×b를 구하라는 것과 같으므로, 오른쪽으로 정의된 두 식을 서로 곱해보자. 

$$ \begin{align} 5 \times 25 & = (a \times a \times a) \times (b \times b \times b) \\ & = (a \times b) \times (a \times b) \times (a \times b) \\ & = (a \times b)^3 \end{align} $$

5×25=125로 5의 세제곱이므로 결국

$$ 5^3 = (ab)^3 $$

$$ ab = \sqrt[3]{5} \times 25^{\frac{1}{3}} = 5$$

 

답은 ⑤이다.

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┃지수법칙을 이용하여 문제를 풀어보자

이번에는 지수법칙을 이용하여 문제를 풀어보기 전에 역시 유리수 범위에서 지수법칙을 사용하기 위해선

 

"밑이 0보다 커야 한다."

 

는 사실을 다시 한번 잊지 않도록 하자

 

$$ \begin{align} \sqrt[3]{5} \times 25^{\frac{1}{3}} & = 5^{\frac{1}{3}} \times (5^2)^{\frac{1}{3}} \\ \\ & = 5^{\frac{1}{3}} \times 5^{\frac{2}{3}} \\ \\ & = 5^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \\ \\ & = 5^1 = 5 \end{align} $$

 

9월 모평보다는 간단하게 답이 5임을 알 수가 있다. 

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역시 지수법칙을 사용하여 간단하게 풀 수 있는 문제로 전통적인 수학영역 1번에 위치하는 문제이다. 답을 맞춘다는 사실보다는 지수의 확장과 그 전제가 어떻게 되는지 우리는 지수법칙을 유리수 범위에서 사용하기 위해 어떻게 이를 정의하였는지에 대해 다시 한번 살펴보는 계기가 되면 좋을 것이다.