중학생이 풀어보는 수능 수학 - 2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 2번, 함수와 수열이란?

728x90

2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 2번 (2025. 11. 14.)

우리가 지수의 개념을 자연수 → 유리수로 확장 을 한 것처럼, 함수도 지수의 개념과 같이 자연수 → 실수로 확장(엄밀한 개념으로는 정의역을 정의하는 방법을 의미)할 수 있는데, 자연수 쪽을 수열, 실수 쪽을 함수로 생각하면 이해하기 쉬울 것이다. 그렇다면 우선 중학과정에서 살짝 다루었던 함수와 수열이란 도대체 무엇인지부터 살펴보자.

 

┃함수란 무엇인가?

우리는 이 세상을 살아가면서 생각보다, 많은 수들의 관계속에서 살아간다. 예를 들어 A지역의 출산율을 파악한다고 가정해보면

$$ A지역 \; 출산율 \; = \; \frac{신생아 \; 수}{가임여성 \; 수} $$

로 나타낼 수 있는데, 가임여성의 수는 사실상 나이에 따른 인구수이기에, 조사 당시에는 변하지 않는 값이 되므로(수학에서는 이를 고정값, 상수라고 표현한다.), 사실상 출산율은 신생아 수에만 영향을 받게 된다.

 

즉, 출산율과, 신생아 수는 직접적인 관계를 맺는다고 볼 수 있는데, 그 관계가 구체적으로 어떻게 되는지 표현하는 것이 바로 함수이다. 만약 A지역의 가임여성의 수가 200명일 때, 신생아 수를 x라고 한다면, A지역의 출산율은 다음과 같이 바꾸어 표현할 수 있다.

$$ A지역 \; 출산율 \; = \; \frac{x}{200} = 0.005 \times x $$

이로써 “출산율은 x에 0.005를 곱한 값이다.”라는 관계가 만들어졌다. 이를 "출산율은 x에 따라 일정한 관계에 따라 변한다"라고 표현하기 위해 "x와 관련된 함수(function)"라는 뜻으로 f(x)라고 표시한다. 즉,

$$ f(x) = 0.005 \times x $$

 

"출산율은 신생아 수에 관계되어 있다."라는 말은, 다시 말하자면 출산율이 신생아 수에 따라 변한다는 뜻이며, 또 다시 말하자면 신생아 수에 따른 출산율은 하나로만 정의되어야 한다는 뜻을 품고 있다. 만약 신생아 수가 2명일 경우 출산율이 1%이기도 하고 2%이기도 하다고 한다면, 이는 함수로써의 의미를 상실하게 될 수도 있다.

 

만약 올해 정부가 A지역의 출산율을 1.5%로 맞추는 것을 목표로 한 결과 A지역의 신생아가 2명 태어났는데, 출산율이 1%이기도 하고 2%이기도 하면, 정부는 정책에 성공한 것이기도 하면서 동시에 실패한 것이 되기도 한다. 이런 애매모호한 관계성을 정의하는 것, 즉, 이런 함수를 정의하는 것이 의미가 있을까? 그렇기에 중학과정에서 함수라는 것을 "x의 값이 정해질 때 y의 값이 오직 하나로 정해지는 경우, y를 x의 함수라고 한다."고 정의하고 있는 것이다. 

 

┃수열은 사실상 x가 자연수인 함수이다.

지금까지는 위의 출산율을 x라고 표현했지만, 사람은 0.1명, 1/2명 꼴로 존재할 수 없으므로 반드시 자연수인 n명으로 산출된다. 따라서 다시 표현해보자면

$$ f(n) = 0.005 \times n, \; (n은 \; 자연수) $$

출산율이라는 것은 %의 개념이므로 100을 곱해서 조금 편하게 바꾸면,

$$ \begin{align} f(n)  & = 0.005 \times 100 \times n \\ \\ & = 0.5 \times n \\ \\ & = \frac{n}{2} \end{align} $$

 

이 함수f(n)이 n에 따라 어떻게 변하는지 살펴보면

n	1	2	3	4	5	6	7	8	…
f(n)	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	…

 

출산율이라는 제목을 걷어내고 보면 f(n)은 0부터 시작해서 0.5씩 늘어나는 수를 나열해 놓은 것과 같게 된다. 우리는 이를 수열이라고 하며, 그 순번을 n이라고 할 경우(3번의 경우 1.5) 그 f(n)에 해당하는 값을

$$ a_n $$

이라고 표현한다. 즉, 위에서 n번째 값은 n에 0.5를 곱한 값이므로 

$$ a_n = 0.5 \times n = \frac{n}{2} = f(n) $$

이 된다.

 

결국 수열도 함수이기 때문에, "n의 값이 정해질 때 a_n의 값이 오직 하나로 정해지는 경우, a_n을 수열이라고 한다."라고 정의할 수 있다. 

┃함수의 극한을 정의하기 위해서는 수열의 극한을 먼저 정의하여야 한다. 

위에서 설명한 바와 같이 수열 → 함수로 확장하는 개념은 자연수 → 실수 개념과 유사하다고 했었다. 그렇다면 반대로 함수의 극한 역시 수열의 극한에서부터 확장되어야 한다는 생각이 들지 않는가? 하지만 우리 고등학교 수학교육과정에서는 함수의 극한을 수학Ⅱ, 수열의 극한을 무려 선택과목인 미적분에서 다루게 된다. 왜 반대로 배우는 것일까? 

 

여러 이유가 있겠지만, 앞선 포스팅인 지수의 확장에서 지수의 정의가 자연수 → 유리수로 확장한 것은 결국 지수의 "정의"를 올바르게 하기 위함이었다. 극한 역시 이를 올바로 "정의"하기 위해서는 수열의 극한에서부터 함수의 극한으로 확장하는 것이 맞지만, 극한의 올바른 정의가 고등학교 교육과정이 아닌, 대학교육과정이기 때문이고, 고등학교 교육과정에서는 극한의 정의보다 "미분"을 정의하는데 극한이 필수불가결한 개념이다보니, 함수의 극한을 그냥 잠시 거쳐가는 수학적 성질로 놓고 그 사고력을 확인하는 용도로만 사용하고 있다. 

 

실제 극한 문제을 대학 수학에서 접근할 때 가장 먼저 확인해야 하는 것은 아이러니하게도 "이게 수렴해?"라는 질문의 답이다. 대학 수학은 수능이 아니기 때문에 함수 하나 쥐어주고 "무슨 값인지는 모르겠지만 미지의 어떤 수로 수렴은 하나요? 예 아니오로 답하세요."를 판단하게끔 한 후, "수렴한다면 그럼 무슨 값으로 수렴할까요?"를 묻는다.

 

하지만 고등과정에서는 교육과정 상 극한을 엄밀하게 정의할 수 없다보니, "몇 가지 극한의 특별한 성질들을 이용해서, 우리가 제공하는 함수의 극한값을 한 번 맞춰보세요."라고 질문하게 된다. 위의 2025학년도 수학영역 2번 문제가 바로 그러한 형태의 문제이다. 

 

함수와 수열에 대해서 짚어보았으니 다음 포스팅에서 극한이란 무엇인지에 대해서 좀 더 알아본 뒤 문제를 접근하도록 하자. 

---

다음 글

https://wkqtkdtlr.tistory.com/382

중학생이 풀어보는 수능 수학 - 2025학년도 대학수학능력시험 수학영역 2번, 수열의 극한이란? 그