지수법칙의 확장(자연수 → 정수), 지수법칙을 정수로 확장시키기 위해서 만든 약속

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아래 포스팅에서의 좀 더 명확한 정의를 위해 작성하는 포스팅이므로 아래 포스팅을 참고하시기 바랍니다.

중학생이 풀어보는 수능 수학 - 2025학년도 9월 모평 1번 문제, 거듭제곱의 개념

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$$ a^{2-4} = a^{-2} = \frac{1}{a^2} $$

 

이런 예시를 통해, 0보다 작은 수 n으로 거듭제곱을 한다는 것은 n번 나눈 것과 같다고 바로 정의하였다. 자연수일 때는 상관없지만 어째서 우리는 왜 저런 약속을 따로 할 필요가 있었는지에 대해서 한번 살펴보고자 한다. 

 

n번 거듭제곱한다는 의미, n이 자연수일 때의 거듭제곱의 의미를 "n이 정수일 때도 똑같이 사용하게 만들고 싶다." 라는 소망에서 시작된다. 증명하고자 하는 내용은 바로 "0이 아닌 실수 a를 m-n승 하였을 때, n이 m보다 크다면(즉, m-n이 0보다 작은 정수라면), 어떻게 표현할 수 있는가" 이다. 여기서 m, n이 자연수라는 사실을 마지막까지 절대 잊어서는 안된다.

 

먼저 m, n의 크기의 관계는 다음과 같이 표현할 수 있다. 

자연수 n, m이 크기의 차이가 있다는 것은, 큰 수에서 작은 수를 뺀 숫자만큼 차이가 난다는 의미이다. 예를 들어 95와 87이 있다면, 97은 85보다 크다고도 할 수 있지만, 97이 85보다 12만큼 더 많다고도 표현이 가능하다는 것. 이는 너무나 당연한 이야기 같지만, 이를 수학적으로 자명하다고 생각하는 것은 또 다른 이야기이다. 즉, n,m의 관계를

$$ n > m $$

이라고 표현할 수도 있지만

$$ n = n + 0 = n + (m -m) = m + (n-m) $$

즉, n = m + (n-m) 으로 자명하다고 이야기하는 것은 완전 다른 이야기라는 것이다. 우선 위의 식을 통해 n과 m의 관계에 대해서는 위와 같이 표현할 수 있음을 알게 되었다. 

 

이제 이를 거듭제곱으로 옮겨보자. 먼저 a의 n승과 a의 m승은 다음과 같이 표현되는데,

$$ a^n = \overbrace{a \times a \times \cdots \times a}^n $$

$$ a^m = \overbrace{a \times a \times \cdots \times a}^m $$

a를 n번 곱한다는 것은 위에서 살펴 본 n, m의 관계에 의해서 다음과 같이 표현할 수 있다. 

$$ \overbrace{a \times a \times \cdots \times a}^n = \overbrace{a \times a \times \cdots \times a}^m \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^{n-m} $$

이는 지수법칙을 이용한 것이 아니라 n개에서 m개만큼을 걷어내면 나머지는 n-m개라는 것을 이용한 것임을 이해하자. 결국, 위의 식을 기존의 거듭제곱의 정의에 따라 다시 표현하면

$$ a^n = a^m \times a^{n-m} $$

이라 할 수 있다.

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0이 아닌 자연수는 아무리 곱해도 자연수이기 때문에 a를 m번 곱한 수 역시 0이 아닌 자연수이므로, a의 m승으로 어떤 수를 나누는 것은 전혀 문제가 되지 않는다. 따라서, 이제는 a의 n승을 a의 m승으로 나누어보도록 하자. 

$$ \begin{align} \frac{a^n}{a^m} & = \frac{\overbrace{a \times a \times \cdots \times a}^m \times \overbrace{a \times a}^{n-m}}{\underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_m} \\ & = \frac{\overbrace{\cancel{a \times a \times \cdots \times a}}^m \times \overbrace{a \times a}^{n-m}}{\underbrace{\cancel{a \times a \times \cdots \times a}}_m} \\ & = \overbrace{a \times a \times \cdots \times a}^{n-m} \\ & = a^{n-m} \end{align} $$

즉, 한 줄로 요약하면

$$ \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \; (n>m) \; \cdots (1) $$

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이번에는 같은 n, m에 대해서(n>m), 반대로 a의 m승을 a의 n승으로 나누어보도록 하자.

$$ \begin{align} \frac{a^m}{a^n} & = \frac{\overbrace{a \times a \times \cdots \times a}^m}{\underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_m \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n-m}} \\ & = \frac{\overbrace{\cancel{a \times a \times \cdots \times a}}^m}{\underbrace{\cancel{a \times a \times \cdots \times a}}_m \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n-m}} \\ & = \frac{1}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_{n-m}} \\ & = \frac{1}{a^{n-m}} \end{align} $$

즉, 한 줄로 요약하면

$$ \frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}} \; (n>m) $$

 

단, (1)과의 통일을 위해 n과 m을 서로 바꿔서 표현하면

$$ \frac{a^n}{a^m} = \frac{1}{a^{m-n}} \; (m>n → n<m) \; \cdots (2) $$

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마지막으로, n과 m이 서로 같은 수라고 해보자. 그러면

$$ \frac{a^n}{a^m} = \frac{a^n}{a^n} = 1 \; (n=m) \cdots (3) $$

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이제 (1), (2), (3)을 모두 모아보면 다음과 같다. 

$$ \frac{a^n}{a^m} = \left\{ \begin{align} & a^{n-m} \;\; (n>m) \\ \\ & \frac{1}{a^{m-n}} \; (n<m) \\ \\ & 1 \;\;\;\;\;\;\;\; (n=m) \end{align} \right. $$

 

식을 한 눈에 알아볼 수 있게 n-m을 k라고 놓고 위 식을 k에 관한 식으로 변형해보면,

$$ \frac{a^n}{a^m} = \left\{ \begin{align} & a^{k} \;\;\;\;\; (k>0) \\ \\ & \frac{1}{a^{-k}} \; (k<0) \\ \\ & 1 \;\;\;\;\;\; (k=0) \end{align} \right. \;\; \cdots (4) $$

 

이 타이밍에서 최초에 우리가 던졌던 아이디어인 "정수로의 확장"을 위해, 다음과 같은 약속을 하나만 더 하기로 하자. 실수 a와 자연수 n에 대해서

$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \; \cdots (5) $$
위의 약속대로 (4)를 조금 바꿔보면

$$ \frac{a^n}{a^m} = \left\{ \begin{align} & a^{k} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (k>0) \\ \\ & \frac{1}{a^{-k}} = a^k \; (k<0) \\ \\ & 1 = a^0 = a^k (k=0) \end{align} \right.  $$

신기하게도 n과 m의 크기 관계와 상관없이 모두 a의 k승으로 똑같이 표현이 가능해졌다. 결국 n, m이 모두 자연수이기만 하다면 (5)의 약속 아래에서

$$ \frac{a^n}{a^m} = a^k = a^{n-m} $$

을 항상 만족하게 된다. 

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즉, 이를 요약하자면

$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$

이 약속을 통해 우리는 n, m의 크기 비교와 전혀 상관없이 n, m이 모두 자연수일 때

$$ \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} $$

라고 이야기할 수 있음을 알게 되었다.

 

n과 m이 자연수일 때, 그 두 수를 곱하거나 더하더라도 그 값은 당연히 자연수가 되지만, 뺄 때는 반드시 자연수가 된다고 보장할 수 없다. 왜냐하면, n, m이 같을 때는 0이며, m이 더 크면 음수가 되기 때문(4번 식 참고). 하지만 이제는 a의 n-m승에 대해서 어떻게 정의하는지에 대해 알게 되었으니, 이제는 지수가 정수더라도 상관이 없다. 본래는 증명을 해야 하지만, 직관적으로라도 자연수일 때 적용됐던 지수의 법칙들(결합, 분배 등등)이 정수에서도 똑같이 적용될 것 같다는 아이디어를 얻게 되었다는 것이다. 그리고 실제로도 똑같이 적용이 된다. 

 

교육과정에서는 이를 어떻게 나타내고 있는지 마지막으로 살펴보면,