중학생이 풀어보는 수능 수학 - 2025학년도 9월 모평 1번 문제, 제곱근의 개념과 지수의 확장(정수 → 유리수)

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2025학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 (2024. 9.)

 

지난 포스팅에 이어지는 내용입니다. 반드시 읽고 오시기 바랍니다. 

중학생이 풀어보는 수능 수학 - 2025학년도 9월 모평 1번 문제, 거듭제곱의 개념

 

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┃제곱근이란?

이전 포스팅에서의 연필 문제를 다시 활용해보자. 1등부터 5등까지 연필을 3개씩 주고자 할 때 선생님이 필요한 연필의 개수를 구하는 방법은 구구단인 "3×5 = 15"를 통해 총 15개가 필요하다는 것을 알 수 있다고 했었다. 그렇다면 이번엔 반대로 "선생님이 15개의 연필을 가지고 있을 때 3개씩 학생들에게 나누어주고자 한다면, 몇 명의 사람들에게 나누어 줄 수 있는가?"에 대한 고민도 당연히 가질 수 있다.

 

여기서 말하고자 하는 것은 15를 3으로 나누어 5라는 답을 내는 것이 아니라, 수학에서의 "="이라는 기호는 →의 방향이 아닌 ←방향으로도 성립할 수 있음을 보여준다는 것. 즉, 3×5가 15이기도 하지만 15가 되기 위해선 3과 어떤 수를 곱해야 하는지에 대해서도 생각할 수 있다는 것이다.

 

지난번에는 거듭제곱을 통해 a를 m번 곱한다는 의미, 아니 더 나아가 m이 정수여도 이를 어떻게 받아들여야 하는지에 대해서 알아보았다. 그렇다면 적어도 m이 정수라는 가정 안에서는 a의 m승은 어떤식으로든 어떤 하나의 수로 계산이 될 것이므로 이를 b라고 가정해보자.

$$ a^m = b $$

우리는 a를 m승 함으로써 b라는 값을 정의했다면, 반대로 b와 m을 이용해서 a라는 값을 정의할 수 있을까라는 질문에서 제곱근은 시작한다. 

 

m으로 접근하면 너무 복잡하므로 우선 어떤 수를 제곱하는 가장 작은 수인 m=2일 때부터 살펴보기로 하자. 어떤 수를 제곱하였더니 그 값이 4가 되었다고 가정해보면 다음과 같이 쓸 수 있을 것이다. 

$$ a^2 = a \times a = 4 $$

우리는 쉽게, 같은 수를 두 번 곱하여 4가 되는 수 중에는 2가 있음을 알 수 있다. 또한, -2 역시 두 번 곱하면 4가 된다. 

$$ -2 \times -2  = 4 $$

즉, 제곱하여 4가 되는 a라는 수는 ±2가 된다는 것은 직관적으로도 이해할 수 있을 것이다. 

$$ a^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad a = \pm 2 $$

우리는 이를 제곱하여 4를 만드는 수, "4의 제곱근"이라고 표현한다. 제곱근이 2이기도 하고 -2이기도 하다는 의미는 어떻게 보면, 2의 부호(+, -)는 별로 상관이 없는 것처럼 보일 수 있다. 

 

그럼 이번에는 추가로 m=3일 때를 살펴보자. 만약 어떤 수를 세제곱하였더니 그 값이 8이 되었다고 가정해보면, 그 수는 2라는 것을 마찬가지고 직관적으로 알 수 있다. 하지만 이번에도 제곱일 때와 같이 -2도 세제곱하여 8을 만드는 수, 즉, "8의 세제곱근"이 될까? 

$$ -2 \times -2 \times -2 = -8 \; \ne 8 $$

제곱과는 달리 세제곱근의 경우에는 세제곱근이 부호의 영향을 받게 된다.

 

b, c가 정수일 때는 지수법칙 중 하나인

$$ (a^b)^c = a^{bc} $$

임을 알고 있다. 하지만 수학자들은 이 지수법칙이 정수일 때 뿐만이 아니라 

$$ a^m = b \quad \Rightarrow \quad (a^m)^{\frac{1}{m}} = (b)^{\frac{1}{m}} \quad \Rightarrow \quad a = b^{\frac{1}{m}} $$

라는 표현을 통해 a를 b의 1/m승으로 우선은 표현해보고 싶다. 이것이 지수법칙을 모두 만족하는지는 둘째치더라도 말이다. 다만, 지수법칙을 떠나서 바로 위에서 살펴 본 문제들이 발목을 잡는데, 바로 짝수제곱근과 홀수제곱근이 부호의 영향을 받느냐, 받지 않느냐로 서로 그 결과가 달라진다는 점이다. 

 

수학자들에게는 "m이 모든 정수일 때"라고 제곱근을 정의하는 것은 너무나도 아름답게 보이지만 "m이 짝수일 때, m이 홀수일 때"를 나누어 정의하는 것은 그것만큼 짜치는 일이 없다고 생각한다. 이왕이면 특별한 조건없이 모든 경우에 대해서 성립하는 약속을 만들고 싶지만 부호의 문제는 어쩔 수가 없기에 수학자들은 다른 방식을 선택하기로 하는데.

 

┃루트(√)의 탄생

"4의 제곱근은 2이기도 하고 -2이기도 하지만, 지수법칙을 확장하기 위해서는 우리는 제곱근 중 양수인 2만을 취하기로 한다." 라고 조건부 약속을 해버리게 된다. 이렇게 하면 왠지 m이 짝수냐 홀수냐와 상관없이 어차피 모두 양수인 근만을 취하므로 규칙성을 유지할 것처럼 보이기 때문이다. 하지만 그냥 양수만을 취한다고 하기에는 이 역시 어거지로 맞춘 느낌이 있다. 그래서 특별한 기호를 사용하여 "이 기호는 m제곱근 중 양수만을 의미한다."라고 정의하기로 해버린다. 그 기호가 바로 루트이다.

$$ \sqrt{ \quad } $$

다시 한번 살펴보자. 우리는 4의 제곱근은 ±2이다. 즉,

$$ x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2 $$

이다. 하지만 루트 4는 양수만을 취하기로 하였다. 따라서

$$ \sqrt{4} = 2, \; \sqrt{4} \ne -2 $$

라는 차이가 생긴다.

 

똑같이 어떤 수를 제곱하여 4가 될 경우 그 수는 무엇인가? 라는 질문같지만 루트일 때는 양수만을 다룬다는 것이 가장 큰 차이이다. 여기에는 이유가 없다. 수학을 다루는 우리들의 약속일 뿐이다. 

 

그래서 제곱근이라는 표현으로는 지수법칙을 확장하기가 어려울 것으로 예상했지만, 이 루트를 활용하여 지수법칙을 유리수의 개념으로 확장하게 되는데, 루트를 이용하여 다음과 같이 정의하기로 한다.

 

m이 정수일 때 b가 a의 m제곱근이라면

$$ a = b^m \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt[m]{a} = a^{\frac{1}{m}} \quad (a > 0, \; b > 0) \cdots ■$$

이러한 정의로 인해, m이 정수일 때는 거듭제곱이 되는 수("밑"이라고 부르며 여기에서는 a)에는 어떤 수가 오더라도 크게 상관이 없었지만, 루트 기호를 사용하기로 한 지금부터는 a, b모두가 양수일 때, 즉, a>0, b>0일 때에만 정의된다는 제약조건이 발생한다.

 

┃루트(√)도 결국은 거듭제곱과 똑같은 원리다.

다시 돌아가 제곱근의 의미를 이쯤에서 다시 살펴 보자. a의 제곱근이라는 것은, 제곱하여 a를 만드는 어떤 수들을 의미하며, 루트 a는 이러한 어떤 수들 중 양수인 수를 의미한다. 즉,

$$ a = b^2 \Rightarrow a = \pm b \cdots (1)$$

$$ a = \sqrt{b} \quad (a, b >0) \cdots (2)$$

 

우리는 b라는 수를 제곱하면 a를 만드는 수로 정의했기 때문에 a의 제곱근은 ±b이지만, b>0일 경우(이러면 당연히 a>0이 된다.) (2)식에 따라 

$$ a = \sqrt{b} \times \sqrt{b} = (\sqrt{b})^2 $$

라고 루트로도 표현할 수 있는데, 이렇게 놓고 보니 사실상 밑이 루트b인 거듭제곱과 다를 게 전혀 없다. 그렇다면 이번에는 b가 a의 n제곱근이라 가정해보자(이 때의 n은 자연수). 그렇다면 제곱근의 정의에 따라, 

$$ a = \overbrace{b \times b \times \cdots \times b}^n = b^n $$

$$ b = \sqrt[n]{a} $$

따라서

$$ a = \overbrace{\sqrt[n]{a} \times \cdots \times \sqrt[n]{a}}^n = (\sqrt[n]{a})^n $$

위에서 살펴본 ■의 정의에 따라

$$ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} $$

이로써 n이 자연수일 때까지는 1/n에 대해서 정의할 수 있게 되었다. 이제는 지난포스팅에서 살펴본 바와 같이(또는 정수로의 지수의 확장편) 정수로 확장하기 위해서 다음과 같이 하나만 더 약속하기로 하자.

$$ a^{- \frac{1}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a}} $$

이렇게 되면 마찬가지로 n이 정수일 때까지도 1/n에 대해서 정의할 수 있음을 알고 있다. 

 

이제 a의 1/n승을 m번 곱해보자.

$$ a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m = \overbrace{a^{\frac{1}{n}} \times a^{\frac{1}{n}} \times \cdots \times a^{\frac{1}{n}} }^m = \overbrace{\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{a} \times \cdots \times \sqrt[n]{a}}^m = (\sqrt[n]{a})^m $$

같은 방식으로 풀어쓰면,

$$ a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{(\sqrt[n]{a})^m} $$

이 된다.

 

결국 n, m이 자연수일 때 정의했던 것을 정수로 확장하였고, 이를 다시 제곱근의 루트라는 것을 통해 m/n꼴인 유리수로도 정의할 수 있게 되었으므로, 지수에 유리수를 쓰더라도(지수법칙의 성립여부는 둘째치더라도) 이를 활용할 수 있게 되었다. 

이제 지수가 유리수일 때 = n제곱근에 대한 표현까지 모두 알아보았으니 문제를 풀어보도록 하자.

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